Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)僅有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試比較與1的大小；

（Ⅲ）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）或

（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，，即；

②當(dāng)時(shí)，，即；

③當(dāng)時(shí)，，即．

（Ⅲ）見解析

【解析】(I)當(dāng)時(shí)，g(x)=f(x)-k有一個零點(diǎn)，實(shí)質(zhì)是y=f(x)與直線y=k有一個公共點(diǎn)，所以利用導(dǎo)數(shù)研究y=f(x)的單調(diào)性，極值，最值，作出圖像可求出k的取值范圍.

(II)當(dāng)a=2時(shí)，令,然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)區(qū)間及最值，然后再分類討論f(x)與1的大小關(guān)系.

(III)解本小題的關(guān)鍵是根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，從而得,問題得解.

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，定義域是，

， 令，得或．  …2分

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  ……………4分

的極大值是，極小值是．

當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)僅有一個零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是或．……………5分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102511550635937725/SYS201210251156285000356579_DA.files/image049.png">．

令，

，     在上是增函數(shù)． ………7分

①當(dāng)時(shí)，，即；

②當(dāng)時(shí)，，即；

③當(dāng)時(shí)，，即．……………9分

（Ⅲ）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，   

． ……………12分

， ．  ……………14分

（法二）當(dāng)時(shí)，．

，，即時(shí)命題成立．…………………10分

設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即 ．

 時(shí)，．

根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，

則有，即時(shí)命題也成立．……………13分

因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．……………………14分

（法三）如圖，根據(jù)定積分的定義，

得．……11分

，

．……………………12分

，

又，，

．

．………………14分