Question

1．已知定義域為R上的奇函數f（x）=a-$\frac{4}{{{3^x}+1}}$．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明函數f（x）的單調性；
（3）若對于任意的m∈R，不等式f（-3m+3）+f（6m-8）＜0恒成立．求m的取范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是奇函數可知f（0）=0求出a=2，再利用f（-x）=-f（x）進行檢驗，確定a的值為2；
（2）利用函數單調性的定義進行證明，即：取值、作差、變形、判斷符 號、得出結論；
（3）根據函數的奇偶性，將不等式變形為f（-3m+3）＜f（8-6m），再根據單調性，得到-3m+3＜8-6m，從而求出m的取值范圍．

解答 （1）∵f（x）是定義域為R的奇函數，
∴f（0）=a-2=0，得a=2，
∴f（x）=2-$\frac{4}{{3}^{x}+1}$=$\frac{2（{3}^{x}-1）}{{3}^{x}+1}$，
此時f（-x）=$\frac{2（{3}^{-x}-1）}{{3}^{-x}+1}=\frac{2（1-{3}^{x}）}{1+{3}^{x}}$=-f（x），滿足條件，
故a的值為2；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，
證明：設x₁，x₂是定義域R上的任意兩個值，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{3}^{{x}_{1}}-1）}{{3}^{{x}_{1}}+1}-\frac{2（{3}^{{x}_{2}}-1）}{{3}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{4（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${3}^{{x}_{1}}＜{3}^{{x}_{2}}$，即${3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}＜0$，
又∵$（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
（3）∵f（-3m+3）+f（6m-8）＜0恒成立，
∴f（-3m+3）＜-f（6m-8）恒成立，
∵f（x）是奇函數，∴-f（6m-8）=f[-（6m-8）]=f（8-6m），
∴f（-3m+3）＜f（8-6m）恒成立，
∵f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，
∴-3m+3＜8-6m，得m＜$\frac{5}{3}$，
故m的取值范圍為（-∞，$\frac{5}{3}$）．

點評 本題的考查了用奇函數的定義求系數，用定義法證明函數的單調性，以及根據奇偶性和單調性求解不等式，屬于中檔題．