Question

某企業準備在2006年對員工增加獎金200元，其中有120元是基本獎金．預計在今后的若干年內，該企業每年新增加的獎金平均比上一年增長8%．另外，每年新增加的獎金中，基本獎金均比上一年增加30元．那么，到哪一年底，
（1）該企業歷年所增加的獎金中基本獎金累計（以2006年為累計的第一年）將首次不少于750元？
（2）當年增加的基本獎金占該年增加獎金的比例首次大于85%？

Answer 1

【答案】分析：（1）設基本獎金形成數列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數列，然后求出該數列的前n項和，最后根據歷年所增加的獎金中基本獎金累計（以2006年為累計的第一年）將首次不少于750元建立關系式，解之即可求出所求；
（2）設新增加的獎金形成數列{b_n}，由題意可知{b_n}是等比數列，然后根據題意可知a_n＞0.85 b_n，解之即可求出所求．
解答：解：（1）設基本獎金形成數列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數列，
（或a₁=120，，d=30，或a_n=120+30 （n-1））（1分）
S_n=a₁n+n（n-1）d（2分）
則S_n=120n+15n（n-1）=15n²+105n=15（n²+7n）（4分）
令15n²+105n≥750，即n²+7n-50≥0，而n是正整數，∴n≥5．（5分）
到2010年底該企業歷年所增加的工資中基本工資累計將首次不少于750元．（6分）
（2）設新增加的獎金形成數列{b_n}，由題意可知{b_n}是等比數列，（或b₁=200，q=1.08，或b_n=b_n-1q） （7分）
則b_n=200•（1.08）^n-1（9分）
由題意可知a_n＞0.85 b_n，有120+30 （n-1）＞200•（1.08）^n-1•0.85． （11分）
由計箅器解得滿足上述不等式的最小正整數n=5，（13分）
到2010年底，當年增加的基本獎金占該年增加獎金的比例首次大于85% （14分）
點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的綜合運用，同時考查了數列的求和和一元二次不等式的解法，屬于中檔題．