Question

方程sinx+cosx=

2

2

在區間[0，4π]上的所有的解的和是

9π

．

Answer 1

分析：用輔助角公式，將方程的左邊進行合并，得

2

sin(x+

π

4

)=

2

2

，所以sin(x+

π

4

)=

1

2

，解這個三角方程得x=-

π

12

+2kπ或x=

7π

12

+2kπ  （k為整數），最后取[0，4π]上的交集，可得[0，4π]上的所有的解，從而求出它們的和．

解答：解：令y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)
若sinx+cosx=

2

2

，則sin(x+

π

4

)=

1

2

得x+

π

4

=

π

6

+2kπ或x+

π

4

=

5π

6

+2kπ  （k為整數）
∴x+

π

4

=

π

6

+2kπ或x+

π

4

=

5π

6

+2kπ  （k為整數）
∴x=-

π

12

+2kπ或x=

7π

12

+2kπ  （k為整數）
取[0，4π]上的交集，得

7π

12

、

23π

12

、

31π

12

、

47π

12

、共四個值
它們的和為9π
故答案為：9π

點評：本題考查了三角函數式的方程的解的問題，屬于中檔題．對三角函數的圖象有充分的認識，結合圖象解題可以加深我們對本題的理解．