Question

如圖，AA₁，BB₁是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A，B的任意一點，AA₁=AB=4．
（1）求證：平面A₁BC⊥平面A₁AC；
（2）求三棱錐A₁-ABC的體積V最大時二面角A-A₁B-C的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據AB是圓的直徑，得到BC⊥AC，用線面垂直的性質定理得到AA₁⊥BC，最后根據線面垂直的判定定理，可得BC⊥平面AA₁C，又BC?面A₁BC，即得證；
（2）設AC=a，BC=b，則a²+b²=16，可得V(x)=

1

3

•4•

1

2

•a•b=

2

3

ab≤

2

3

a2+b2

2

=

32

3

，故當AC=BC時三棱錐A₁-ABC的體積V最大，由題意知，∠CDO為二面角A-A₁B-C的平面角．故得到二面角A-A₁B-C的大小的余弦值為

3

3

．

解答：（1）證明：∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC．
∴AA₁⊥BC，又AB為斜邊，∴BC⊥AC，又AA₁∩AC=A，
∴BC⊥平面A₁AC，
又BC?面A₁BC，∴面A₁BC⊥平面AA₁C；
（2）解：在Rt△A₁AB中，AA₁=AB=4，
設AC=a，BC=b，則a²+b²=16
V(x)=

1

3

•4•

1

2

•a•b=

2

3

ab≤

2

3

a2+b2

2

=

32

3

，當a=b時取等號．
∴AC=BC時三棱錐A₁-ABC的體積V最大，
取AB中點O，則CO⊥AB，
∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥CO
∴CO⊥面A₁BC，∴CO⊥A₁B
做OD⊥A₁B于D，連接CD
則A₁B⊥面COD
∴∠CDO為二面角A-A₁B-C的平面              
又∵CO=OB=2，OD=

2

，
∴CD=

6

故cos∠CDO=

OD

CD

=

3

3

．

點評：本題以圓柱為載體，求錐體體積的最大值并求此時直線與平面所成角的正弦，著重考查了線面垂直的判定與性質、直線與平面所成角等知識，屬于中檔題．