Question

如圖，在直線y=0和y=a（a＞0）之間表示的是一條河流，河流的一側河岸（x軸）是一條公路，且公路隨時隨處都有公交車來往．家住A（0，a）的某學生在位于公路上B（d，0）（d＞0）處的學校就讀．每天早晨該學生都要從家出發，可以先乘船渡河到達公路上某一點，再乘公交車去學校，或者直接乘船渡河到達公路上B（d，0）處的學校．已知船速為υ₀（υ₀＞0），車速為2υ₀（水流速度忽略不計）．
（Ⅰ）若d=2a，求該學生早晨上學時，從家出發到達學校所用的最短時間；
（Ⅱ）若d=

a

2

，求該學生早晨上學時，從家出發到達學校所用的最短時間．

Answer 1

分析：（I）設該學生從家出發，先乘船渡河到達公路上某一點P（x，0）（0≤x≤d），再乘公交車去學校，所用的時間為t，則t=f(x)=

a2+x2

υ0

+

d-x

2υ0

(0≤x≤d)，求導函數，從而確定極值點，由此可求得函數的最值，從而得結論；
（II）由（I）的討論可知，當d=

a

2

時，t=f(x)為(0，

a

2

]上的減函數，所以當x=

a

2

時，即該學生直接乘船渡河到達公路上學校，所用的時間最短，故可得結論．

解答：解：（I）設該學生從家出發，先乘船渡河到達公路上某一點P（x，0）（0≤x≤d），再乘公交車去學校，所用的時間為t，則t=f(x)=

a2+x2

υ0

+

d-x

2υ0

(0≤x≤d)．…（3分）
令f′(x)=0，得x=

3

3

a．…（5分）
且當0≤x＜

3

3

a時，f′(x)＜0，…（6分）
當

3

3

a＜x≤d時，f′(x)＞0，…（7分）
當x=

3

3

a時，所用的時間最短，最短時間為：t=

a2+( 3 3 a)2

υ0

+

d- 3 3 a

2υ0

=(1+

3

2

)

a

υ0

．…（9分）
答：當d=2a時，該學生從家出發到達學校所用的最短時間是(1+

3

2

)

a

υ0

．
（II）由（I）的討論可知，當d=

a

2

時，t=f(x)為(0，

a

2

]上的減函數，所以當x=

a

2

時，
即該學生直接乘船渡河到達公路上學校，所用的時間最短．…（12分）
最短的時間為t=

a2+( a 2 )2

υ0

=

5 a

2υ0

…（14分）
答：當d=

a

2

時，該學生從家出發到達學校所用的最短時間是

5 a

2υ0

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查利用導數解決函數的最值，解題的關鍵是函數模型的構建．