Question

如圖，在坐標平面內△ABC的頂點A（0，2），B（-1，0），C（1，0），有一個隨t變化的帶形區域，其邊界為直線y=t和y=t+1，設這個帶形區域覆蓋△ABC的面積為S，試求以t為自變量的函數S的解析式，并畫出這個函數的圖象．

Answer 1

分析：因為帶形區域覆蓋△ABC的圖形不確定，所以分三種情況進行討論，分別求出解析式得到S是一個分段函數．

解答：解：根據t的取值范圍分情況討論：
（1）當0≤t≤1時，帶形區域覆蓋△ABC的圖形為梯形DEGF，由題可知這個梯形的高為1
根據題中的條件解出：直線AC的解析式為y=-2x+2．則下底為DE=2NE=2（-2t+2）；上底為FG=2MG=-4t．
根據梯形的面積公式得：S=

1

2

(-4t+4-4t)×1=-4t+2  0≤t≤

1

2

2）當1＜t≤2時，帶形區域覆蓋△ABC的圖形為三角形ADE的面積，則三角形的高為2-t，底為DE=-4t+4
根據三角形的面積公式得：S=

1

2

(2-t)(-4t+4)=2t²-6t+4因為t＞1舍去；
（3）當-1＜t＜0時，帶形區域覆蓋△ABC的圖形為梯形BCGF，高為t+1，上底為FG=-4t，下底為2
根據梯形的面積公式得：S=

1

2

(2-4t)(t+1)=-2t²-t+1．
∴S=

-4t+2    t∈(0 1 2 ) -2t2-t+1   t∈(-1，0)

據（1）（3）中的解析式畫出函數的草圖為：

點評：此題考查學生根據實際問題選擇函數關系的能力．