Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x3﹣3ax2+3bx的圖象與直線12x+y﹣1=0相切于點(diǎn)（1，﹣11）．
（1）求a，b的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）解：求導(dǎo)得f′（x）=3x2﹣6ax+3b．

由于f（x）的圖象與直線12x+y﹣1=0相切于點(diǎn)（1，﹣11），

所以f（1）=﹣11，f′（1）=﹣12，即：

1﹣3a+3b=﹣11，3﹣6a+3b=﹣12

解得：a=1，b=﹣3．

（2）解：由a=1，b=﹣3得：f′（x）=3x2﹣6ax+3b=3（x2﹣2x﹣3）=3（x+1）（x﹣3）

令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3；

又令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜3．

故當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f（x）是增函數(shù)，

當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，f（x）也是增函數(shù)，

但當(dāng)x∈（﹣1，3）時(shí)，f（x）是減函數(shù)．

【解析】（1）函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率，切點(diǎn)在切線上，列方程解．（2）導(dǎo)函數(shù)大于0對(duì)應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0對(duì)應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和導(dǎo)數(shù)的幾何意義的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；通過圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即．