Question

在橢圓

x2

40

+

y2

10

=1內(nèi)有一點(diǎn)M（4，-1），使過(guò)點(diǎn)M的弦AB的中點(diǎn)正好為點(diǎn)M，求弦AB所在的直線的方程．

Answer 1

分析：假設(shè)直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y得x的方程，利用M是弦AB的中點(diǎn)，建立方程，可求得k的值，驗(yàn)證此時(shí)方程的判別式大于0，從而得解．

解答：解：由題意，直線的斜率存在
設(shè)直線的斜率為k，則方程為y+1=k（x-4），與橢圓

x2

40

+

y2

10

=1聯(lián)立，
消去y得（1+4k²）x²-（32k²+8k）x-40=0，
∴x₁+x₂=

32k2+8k

1+4k2

∵M(jìn)是弦AB的中點(diǎn)，
∴

32k2+8k

1+4k2

=8，解得k=1，
此時(shí)方程（1+4k²）x²-（32k²+8k）x-40=0的判別式大于0，從而直線AB與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，k=1符合題意．
∴AB的方程是x-y-5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是橢圓中弦中點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是假設(shè)方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解．