Question

如圖，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=AA₁=a，BC=a，M、N分別是AD、BC的中點.

(Ⅰ)求證：B₁N∥平面A₁MB；

(Ⅱ)求二面角A₁-MB-A的大小；

(Ⅲ)求點A到平面A_lMB的距離.

Answer 1

答案：解法一：(Ⅰ)連接MN,在長方體中,M、N分別是AD、BC的中點,

∴A₁B₁∥MN,A₁B₁=MN,∴四邊形A₁B₁MN是平行四邊形,∴A₁M∥B₁N, 

∵A₁M平面A₁MB,B₁N平面A₁MB∴B₁N∥平面A₁MB. 

(Ⅱ)如圖過A點作AE⊥MB于E,連結A₁E,

∵AA₁⊥平面ABCD,則AE是A₁E在平面ABCD上的射影,由三垂線定理知：A₁E⊥MB,

∴∠A₁EA是二面角A₁-MB-A的平面角,

在Rt△AMB中,BM=,由AE·MB=AM·AB,則AE=,

在Rt△A₁AE中,tan∠A₁EA=. 

∴∠A₁EA=,即二面角A₁-MB-A的大小是. 

(Ⅲ)過A作AH⊥A₁E于點H,由(Ⅱ)知,MB⊥面A₁AE,又MB面A₁MB, 

∴面A₁AE⊥面A₁MB,且面A₁AE∩面A₁MB=A₁E,則AH⊥面A₁MB,∴AH是點A到平面A₁MB的距離 

在Rt△A₁HE中,AH=AE·sin∠AEA₁=a·=, 

∴點A到平面A₁MB的距離是. 

解法二：(Ⅰ)以D為原點,以射線DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標系,

則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、M(,0,0).D₁(0,0,a)、A₁(a,0,a)、B₁(a,a,a)、N(a,a,0) 

∴=(a,0,-a),=(-a,0,-a),故=,即∥, 

∵而B₁N在平面A₁MB內,A₁M在平面A₁MB外,∴B₁N∥平面A₁MB；

(Ⅱ)設=(0,0,a)是平面AMB的一個法向量, 

∴=(0,-a,a),=(a,0,a),設n=(x,y,1)是平面A₁MB的一個法向量,

則,解得,∴n=(-,1,1),

∵二面角A₁-MB-A的大小即是n與的夾角,

∴cos〈n,〉=, 

∴n與的夾角是60°,即二面角A₁-MB-A的大小是60°；

(Ⅲ)∵=(,0,0)且平面A₁MB的法向量n=(-,1,1),

∴點A到平面A₁MB的距離是.