Question

（本小題滿分13分）

在平面直角坐標系中，已知點，點在直線上運動，過點與垂直的直線和的中垂線相交于點．

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設點是軌跡上的動點，點，在軸上，圓（為參數）內切于，求的面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）當點的坐標為或時，的面積取最小值

【解析】（Ⅰ）設點的坐標為，由題設知，．

所以動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其方程為．       ……分

（Ⅱ）設，，，且，

故直線的方程為．

由消去參數，得．                            ……分

由題設知，圓心到直線的距離為，即 ．

注意到，化簡上式，得，同理可得

．

由上可知，，為方程的兩根，根據求根公式，可得

．                                                    ……分

故的面積為

，等號當且僅當時成立．此時點的坐標為或．

綜上所述，當點的坐標為或時，的面積取最小值．

       ……分