Question

等比數列{a_n}中，“a₁＜a₃”是“a₅＜a₇”的

1. A.
   充分而不必要條件
2. B.
   必要而不充分條件
3. C.
   充要條件
4. D.
   既不充分也不必要條件

Answer 1

C

分析：設出等比數列{a_n}的公比為q，根據等比數列的定義知q不為零．用等比數列的通項公式分別將，“a₁＜a₃”和“a₅＜a₇”化成關于首項a₁和公比q的不等式，用不等式的等價變形法則進行變形，可得正確答案．
解答：設等比數列{a_n}的公比為q，得到它的第n項為a_n=a₁q^n-1
①先看充分性，
∵等比數列的公比q≠0
∴q²ⁿ=（qⁿ）²＞0，從而q⁴＞0
若a₁＜a₃，即a₁＜a₁q²，兩邊同乘以q⁴得：a₁q⁴＜a₁q⁶
即a₅＜a₇成立，因此充分性成立
②再看必要性，
若a₅＜a₇可得a₁q⁴＜a₁q⁶，兩邊都除以q⁴得a₁＜a₁q²，
即a₁＜a₃成立，因此必要性成立
綜上可得“a₁＜a₃”是“a₅＜a₇”的充分必要條件
故選C

點評：本題以等比數列的通項和不等式的基本性質為例，考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎題．