Question

如圖是一個(gè)組合體．它下部的形狀是高為10m的圓柱，上部的形狀是母線長(zhǎng)為30m的圓錐．試問當(dāng)組合體的頂點(diǎn)O到底面中心O′的距離為多少時(shí)，組合體的體積最大？最大體積是多少？

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出圓錐的高與半徑，表示出組合體的體積，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定體積的最大值，求出組合體的頂點(diǎn)O到底面中心O′的距離，求解最大值即可．
解答：解：設(shè)圓錐的高為x，半徑為r，則r=   （0＜x＜30）
V（x）=
=
V′（x）=-π（x²+20x-300）
令V′（x）=0解得x=-30（不合題意，舍去），x=10．
當(dāng)0＜x＜10時(shí)，V′（x）＞0，V（x）為增函數(shù)；當(dāng)10＜x＜30時(shí)，V′（x）＜0，V（x）為減函數(shù)
所以當(dāng)x=10時(shí)，V（x）最大．即當(dāng)OO′=20m時(shí)，組合體的體積最大…（9分）
最大體積為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查組合體的體積的求法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．