Question

如圖是一個組合體．它下部的形狀是高為10m的圓柱，上部的形狀是母線長為30m的圓錐．試問當組合體的頂點O到底面中心O'的距離為多少時，組合體的體積最大？最大體積是多少？注：V柱體=S底•h，  V錐體=

1

3

S底•h．

Answer 1

分析：設圓錐的高為x，半徑為r，我們易根據下部的形狀是高為10m的圓柱，上部的形狀是母線長為30m的圓錐得到組合體的體積的表達式，然后根據導數法，求出函數的最大值，即可得到答案．

解答：解：設圓錐的高為x，半徑為r，則r=

900-x2

（0＜x＜30）（2分）
V(X)=π(900-x2)×10+

1

3

π(900-x2)•x
=

1

3

π(27000-30x2+900x-x3)（4分）
V′（x）=-π（x²+20x-300）（5分）
令V'（x）=0解得x=-30（不合題意，舍去），x=10．
當0＜x＜10時，V'（x）＞0，V（x）為增函數；當10＜x＜30時，V'（x）＜0，V（x）為減函數．（7分）
所以當x=10時，V（x）最大．即當OO′為20m時，組合體的體積最大（9分）
最大體積為：

32000

3

π（10分）

點評：本題考查的知識點是組合幾何體的體積，導數法求函數的最大值，其中根據已知求出組合體的體積的函數表達式，將問題轉化為求函數的最大值問題，是解答本題的關鍵．