Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD，E，F分別是線段PA，PD的中點，H在線段AB上．

（1）求證：PC⊥AF；

（2）若平面PBC∥平面EFH，求證H是AB的中點；

（3）若AD=4，AB=2，求點D到平面PAC的距離．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）見證明；（3）

【解析】

（1）要證PC⊥AF ，只需證明AF⊥平面PCD即可，須證AF垂直面內兩條相交直線；（2）由面PBC∥平面EFH，可得EH∥PB，由是線段的中點即可得到證明；（3）過D作DM⊥AC于M，可證面即線段DM的長就是點D到平面PAC的距離．

(1)證明：底面， 底面，.

又四邊形為正方形，.

又，平面.

又平面 ， ，

為的中點，且，，

又， 平面..

(2)證明：平面平面 ，面平面，面平面，

.

又是線段的中點，在線段上，

是的中點.

(3)過作于，

側棱底面，，且 ，

面，

線段的長就是點到平面的距離.

在直角三角形中，.

.