Question

（本小題滿分12分）

右圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到

的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，

AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3．

   （1）設點O是AB的中點，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；

   （2）求二面角B—AC—A₁的大小；

   （3）求此幾何體的體積．

                  

 

Answer 1

【答案】

(1) OC∥平面A₁B₁C₁

(2) 二面角的大小為

(3)

【解析】（1）證明：作交于，連．

則．

因為是的中點，

所以．

則是平行四邊形，因此有．

平面且平面，

則面．

（2）如圖，過作截面面，分別交，于，．

作于，連．

因為面，所以，則平面．

又因為，，．

所以，根據三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因為，所以，故，

即：所求二面角的大小為．

（3）因為，所以

    

所求幾何體體積為

．

解法二：

（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標系，

則，，，因為是的中點，所以，

．

易知，是平面的一個法向量．

因為，平面，所以平面．

（2），，

設是平面的一個法向量，則

則得：

取，．

顯然，為平面的一個法向量．

則,

結合圖形可知所求二面角為銳角．

所以二面角的大小是．

（3）同解法一．