Question

在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sin．
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）已知tanθ=

sinB+sinC

cosB+cosC

，且0＜θ＜π，求函數f（x）=2sin（2x+θ）在區間[-

π

2

，-

π

12

]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，再由余弦定理表示出cosA，將得出的等式變形后代入cosA中，求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（Ⅱ）由A的度數，求出B+C的度數為

2π

3

，設B=

π

3

+α，C=

π

3

-α，-

π

3

＜α＜

π

3

，代入已知的tanθ的式子中，分子分母分別利用和差化積公式變形后，利用同角三角函數間的基本關系得到tanθ=tan

π

3

，由θ的范圍得到θ=

π

3

，代入函數f（x）解析式中，根據x的范圍，得到這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質可得出此時函數的最大值及最小值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，根據正弦定理得：2a²=（2b-c）b+（2c-b）c，…（1分）
即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，…（3分）
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：B+C=π-A=

2π

3

，
設B=

π

3

+α，C=

π

3

-α，-

π

3

＜α＜

π

3

，
∴tanθ=

sinB+sinC

cosB+cosC

=

sin( π 3 +α)+sin( π 3 -α)

cos( π 3 +α)+cos( π 3 -α)

=

2sin π 3 cosα

2cos π 3 cosα

=tan

π

3

，
∵0＜θ＜π，∴θ=

π

3

，…（9分）
∴f（x）=2sin（2x+θ）=2sin（2x+

π

3

），
∵-

π

2

≤x≤-

π

12

，-

2π

3

≤2x+

π

3

≤

π

6

，
∴當2x+

π

3

=-

π

2

，即x=-

5π

12

時，f（x）有最小值-2；
當2x+

π

3

=

π

6

，即x=-

π

12

時，f（x）有最大值1，
則函數f（x）在區間[-

π

2

，-

π

12

]上的最大值與最小值分別為-2與1．…（12分）

點評：此題考查了正弦、余弦定理，和差化積公式，正弦函數的定義域與值域，其中確定出θ的度數是解第二問的關鍵．