Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中點．
（1）求證：BD₁∥平面C₁DE；
（2）試在棱CC₁上求一點，使得平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

Answer 1

分析：（1）連CD₁交C₁D于O點，連OE，根據OE是三角形CBD₁的中位線，可得OE∥BD₁，所以，BD₁∥平面C₁DE．
（2）過B₁點作B₁P⊥C₁E，交CC₁于P點，可證P是CC₁的中點，再由A₁B₁⊥C₁E 可得，C₁E⊥平面A₁B₁P，故有平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

解答：解：（1）證明：連CD₁交C₁D于O點，連OE，
因為O是CD₁的中點，所以，OE∥BD₁，所以，BD₁∥平面C₁DE．
（2）過B₁點作B₁P⊥C₁E，交CC₁于P點．
在正方形BCC₁B₁中，易證Rt△B₁C₁P≌Rt△C₁CE，得P是CC₁的中點．
因為A₁B₁⊥平面B₁C，C₁E?平面B₁C，所以A₁B₁⊥C₁E，
又因為C₁E⊥B₁P，所以，C₁E⊥平面A₁B₁P，
所以平面A₁B₁P⊥平面C₁DE，故取CC₁的中點P，就有平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，直線和平面平行的判定，面面垂直的判定，體現了數形結合的數學思想，證明C₁E⊥平面A₁B₁P，是解題的關鍵．