Question

若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則

1

a

+

3

b

的最小值為

4+2

3

．

Answer 1

分析：將圓的一般方程轉化為標準方程，可得圓心坐標與半徑，又由題意，直線被圓截得的弦長為4，分析可得直線經過該圓的圓心，將圓心坐標代入直線方程，整理可得a+b=1；對

1

a

+

3

b

變形可得

1

a

+

3

b

=4+

b

a

+3

a

b

，結合基本不等式的性質，分析可得答案．

解答：解：圓x²+y²+2x-4y+1=0化為標準方程為（x+1）²+（y-2）²=4，
易得圓心坐標為（-1，2），半徑為2；
若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓截得的弦長為4，為直徑的長，
則直線過圓心，即2a×（-1）-b×2-2=0，變形可得a+b=1，

1

a

+

3

b

=（

1

a

+

3

b

）×（a+b）=4+

b

a

+3

a

b

，
又由a＞0且b＞0，可得

b

a

＞0，

a

b

＞0，則（

b

a

+3

a

b

）≥2

3

，
則

1

a

+

3

b

=4+

b

a

+3

a

b

≥4+2

3

，即

1

a

+

3

b

的最小值為4+2

3

，
故答案為4+2

3

．

點評：本題考查直線與圓位置關系的判斷與基本不等式的應用，關鍵是判斷出直線2ax-by+2=0過圓心（-1，2）．