Question

（2013•泉州模擬）如圖，單位正方形區域OABC在二階矩陣M的作用下變成平行四邊形OAB₁C₁區域．
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）求M²，并判斷M²是否存在逆矩陣？若存在，求出它的逆矩陣．

Answer 1

分析：（I）利用待定系數法，先假設所求的變換矩陣M=

a b c d

，再利用點C（0，1）、A（1，0）分別變換成點C₁（1，1）、A（1，0），可構建方程組，從而得解．
（II）先利用矩陣的乘方求出M²，再直接利用求逆矩陣的公式可求即得．

解答：解：（Ⅰ）設M=

a b c d

，由

a b c d

1 0

=

1 0

，得a=1，c=0，
由

a b c d

0 1

=

1 1

，得b=1，d=1，
∴M=

1 1 0 1

．
（Ⅱ）M²=

1 1 0 1

1 1 0 1

=

1 2 0 1

，
∵|M²|=1≠0，∴M²存在逆矩陣，
M²的逆矩陣為

1 -2 0 1

．

點評：本題以變換為依托，考查矩陣及其逆矩陣，關鍵是利用待定系數法，利用矩陣的乘法公式．