Question

函數f（x）=kx-

4x-x2

+2k-2有且僅有一個零點，實數k的取值范圍是

[

1

3

，1）∪{

4

3

}

．

Answer 1

分析：據題意f（x）=kx-

4x-x2

+2k-2=0，即

4x-x2

=kx+2k-2，設y₁=

4x-x2

，y₂=kx+2k-2，畫出函數y₁=

4x-x2

，圖象，結合圖象，即可得到k的取值范圍．

解答：解：根據題意令f（x）=kx-

4x-x2

+2k-2=0，
設y₁=

4x-x2

，y₂=kx+2k-2，
根據題意畫出圖象，如圖所示：
根據圖象可知，當k=

4

3

時，直線kx+2k-2與半圓y=

4x-x2

只有一個交點，即方程只有一個解，函數f（x）=kx-

4x-x2

+2k-2有且僅有一個零點，
滿足題意；
當

1

3

≤k＜1時，直線kx+2k-2與半圓y=

4x-x2

只有一個交點，即方程只有一個解，函數f（x）=kx-

4x-x2

+2k-2有且僅有一個零點，滿足題意；
綜上，滿足題意k的取值范圍為：[

1

3

，1）∪{

4

3

}．
故答案為：：[

1

3

，1）∪{

4

3

}．

點評：此題考查學生掌握直線與圓的位置關系的判斷方法，考查了數形結合的數學思想，是一道中檔題．