Question

已知對于任意非零實數(shù)a和b，不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，試求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：先分離出含有a，b的式子，即|2+x|+|2-x|≤

|2a+b|+|2a-b|

|a|

恒成立，問題轉(zhuǎn)化為求左式的最小值即可．

解答：解：由題知，|2+x|+|2-x|≤

|2a+b|+|2a-b|

|a|

恒成立，
故|2+x|+|2-x|不大于

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值（4分）
∵|2a+b|+||2a-b≥|2a+b+2a-b|=4|a|，
當且僅當（2a+b）（2a-b）≥0時取等號，∴

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值等于4．（8分）
∴x的范圍即為不等式|2+x|+|2-x|≤4的解．
解不等式得-2≤x≤2．（10分）

點評：本題主要考查了不等式的恒成立問題，通常采用分離參數(shù)的方法解決，屬于基礎題．