Question

某學生對函數f（x）=2x•cosx的性質進行研究，得出如下的4個結論，其中正確的結論是（　　）

• A．函數f（x）在[-π，0]上單調遞增，在[0，π]上單調遞減
• B．點（

  π

  2

  ，0）是函數y=f（x）圖象的一個對稱中心
• C．函數y=f（x）圖象關于直線x=π對稱
• D．存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立

Answer 1

分析：由函數是奇函數判斷A的正誤；通過給變量取特殊值，舉反例可得BC不正確；令M=2，則|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，所以D對．

解答：解：對于，f（x）=2x•cosx為奇函數，則函數f（x）在[-π，0]，[0，π]上單調性相同，所以A錯．
對于B，由于f（0）=0，f（π）=-2π，所以B錯．
對于C，由 f（0）=0，f（2π）=4π，所以C錯．
對于D，|f（x）|=|2x•cosx|=|2x|•|cosx|≤2|x|，令M=2，則|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，所以D對．
故選D．

點評：本題主要考查三角函數的對稱性、單調性、以及函數的最值，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．