Question

（2010•江蘇模擬）某學生對函數(shù)f（x）=2x•cosx的性質(zhì)進行研究，得出如下的結(jié)論：
①函數(shù)f（x）在[-π，0]上單調(diào)遞增，在[0，π]上單調(diào)遞減；
②點(

π

2

，0)是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心；
③函數(shù)y=f（x）圖象關于直線x=π對稱；
④存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立．
其中正確的結(jié)論是

④

．

Answer 1

分析：由函數(shù)是奇函數(shù)可得函數(shù)f（x）在[-π，0]，[0，π]上單調(diào)性相同，所以①錯；通過給變量取特殊值，舉反例可得②③不正確；
令M=2，則|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立，所以④對．

解答：解：f（x）=2x•cosx為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）在[-π，0]，[0，π]上單調(diào)性相同，所以①錯．
由于f（0）=0，f（π）=-2π，所以②錯．再由 f（0）=0，f（2π）=4π，所以③錯．
|f（x）|=|2x•cosx|=|2x|•|cosx|≤2|x|，令M=2，則|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立，所以④對．
故答案為：④．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、以及函數(shù)的最值，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．