Question

設函數f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（m＞-2）的圖象在x=2處的切線與直線x-5y-12=0垂直．
（Ⅰ）求函數f（x）的極值與零點；
（Ⅱ）設g（x）=

1-x

kx

+lnx，若對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，證明：

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

9

10

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對f（x）進行求導，根據f（x）圖象在x=2處的切線與直線x-5y-12=0垂直，根據導數與斜率的關系，可得f′（2）=-5，求出m的值，然后再求出
函數f（x）的極值與零點；
（Ⅱ）由（Ⅰ）已經知道f（x）的極大值和極小值，對命題進行轉化：對任意x₁∈[0，1]時，存在x₂∈（0，1]時，使f（x₁）＞g（x₂）”等價于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在[0，1]上的最小值，因k值與0的關系不知道，所以要分類討論：k＞0；k=0；k＜0；進行求解；
（Ⅲ）要利用（Ⅰ）、（Ⅱ）問的結論進行求證，利用不等式

x

1+x2

≤

27

50

（2x-x²），對要證明的不等式左邊的式子進行放縮，進行證明；

解答：解：（Ⅰ）因為f′（x）=-3x²-4mx-m²，所以f′（2）=-12-8m-m²=-5，
解得：m=-1或m=-7，又m＞-2，所以m=-1，…（2分）
由f′（x）=-3x²+4x-1，解得x₁=1，x₂=

1

3

，列表如下：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（　x　）	減函數	極小值 50 27	增函數	極大值2	減函數

所以f（x）_極小值=f（

1

3

）=

50

27

，f（x）_極大值=f（1）=2，
因為f（x）=-x³+2x²-x+2=-（x-2）（x²+1），
所以函數f（x）的零點是x=2．                                       …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當x∈[0，1]時，f（x）_min=

50

27

，
“對任意x₁∈[0，1]時，存在x₂∈（0，1]時，使f（x₁）＞g（x₂）”等價于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在[0，1]上的最小值，
即當x∈（0，1]時，g（x）_min＜

50

27

”，…（6分）
因為g′（x）=-

1

kx2

+

1

x

=

x- 1 k

x2

，
①當k＜0時，因為x∈（0，1]時，所以g（x）=

1-x

kx

+lnx≤0＜

50

27

，符合題意；
②當0＜k≤1時，

1

k

≥1，所以x∈（0，1]時，g′（x）≤0，g（x）單調遞減，
所以g（x）_min=g（1）=0＜

50

27

，符合題意；
③當k＞1時，0＜

1

k

＜1，所以x∈（0，

1

k

）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，x∈（

1

k

，1）時，
g′（x），g（x）單調遞增，所以x∈（0，1]時，g（x）_min=g（

1

k

）=1-

1

k

+ln

1

k

，
令φ（x）=lnx-x-

23

27

（0＜x＜1），則φ′（x）=

1

x

-1＞0，
所以φ（x）在（0，1）上單調遞增，所以x∈（0，1）時，φ（x）＜φ（1）=-

50

27

＜0，
即lnx-x＜

23

27

，
所以g（x）min=g（

1

k

）=1-

1

k

+ln

1

k

＜1+

23

27

=

50

27

，符合題意，
綜上所述，若對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，，使f（x₁）＞f（x₂）成立，
則實數k的取值范圍是（-∞，0）∪（0，+∞）．                           …（10分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當x∈[0，1]時，（x²+1）（2-x）≥

50

27

，即

x

1+x2

≤

27

50

（2x-x²），
當a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1時，0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1，
所以

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

[2（a+b+c）-（a²+b²+c²）]=

27

50

[2-（a²+b²+c²）]

又因為（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤3（a²+b²+c²），
所以a²+b²+c²≥

1

3

，當且僅當a=b=c=

1

3

時取等號，
所以

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

[2-（a²+b²+c²）]≤

27

50

（2-

1

3

）=

9

10

，
當且僅當a=b=c=

1

3

時取等號，…（14分）

點評：本題主要考查函數的導數與切線的斜率，利用導數求閉區間上函數的最值，考查分析問題解決問題的能力，前兩問比較容易求解，第三問難度比較大，需要用到前兩問的結論，此題考查知識點比較全面，是一道綜合題；