Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+ax-1．
（Ⅰ）若函數(shù)是偶函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)在（-∞，1）是減函數(shù)，求a的取值范圍
（Ⅲ）若函數(shù)有兩個零點，其中一個在（-1，1）上，另一個在（1，2）上，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若函數(shù)是偶函數(shù)，則由f（-x）=f（x）可得 2x² -ax-1=2x²+ax-1，求得a=0．
（Ⅱ）若函數(shù)在（-∞，1）是減函數(shù)，則有-

a

4

≥1，由此求得a的取值范圍．
（Ⅲ）則由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得

f(-1)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

1-a＞0 1+a＜0 7+2a＞0

，由此解得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）若函數(shù)是偶函數(shù)，則由f（-x）=f（x）可得 2x² -ax-1=2x²+ax-1，求得a=0．
（Ⅱ）若函數(shù)在（-∞，1）是減函數(shù)，則有-

a

4

≥1，求得a≤-4，故a的取值范圍為（-∞，-4]．
（Ⅲ）函數(shù)f（x）=2x²+ax-1有兩個零點，其中一個在（-1，1）上，另一個在（1，2）上，則由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得

f(-1)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，
即

1-a＞0 1+a＜0 7+2a＞0

，解得-

7

2

＜a＜-1，故a的范圍為（-

7

2

，-1）．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，函數(shù)的奇偶性的應用，屬于基礎題．