Question

正四棱錐相鄰側面所成的角為α，側面與底面所成的角為β，則2cosα+cos2β的值是（　　）

• A．-1
• B．1
• C．

  3

  2

• D．2

Answer 1

分析：設正四棱錐S-ABCD的底面邊長為a，側棱長為b，作出兩個二面角的平面角，利用勾股定理、余弦定理和二倍角的余弦公式等解三角形的知識求解即可．

解答：解：設正四棱錐S-ABCD的底面邊長為a，側棱長為b，如圖
過S做SE⊥AB與E，SO⊥底面ABCD與O，連EO，則∠SEO即為側面與底面所成二面角的平面角，即為β，
在三角形SEO中，SE²=b2-

1

4

a2，OE=

a

2

，
∴cos²β=

1 4 a2

b2- 1 4 a2

，cos2β=2cos²β-1=

1 2 a2

b2- 1 4 a2

-1，
過B做BH⊥SA與H，連CH，由△SAB≌△SAC，所以CH⊥SA，則角BHC即為兩個側面所成的二面角的平面角，即α，
在△BCH中，BC=a，BH=CH=

a b2- 1 4 a2

b

，
由余弦定理可得cosα=

- 1 4 a2

b2- 1 4 a2

，
∴2cosα+cos2β=2（cosα+cos²β ）-1=0-1=-1
故選A

點評：本題考查二面角的做法和求解、勾股定理、余弦定理和二倍角的余弦公式等解三角形知識，考查空間想象能力和運算能力．