Question

【題目】對于函數，若存在實數對，使得等式對定義域中的任意都成立，則稱函數是“型函數”．

（1）若函數是“型函數”，且，求出滿足條件的實數對；

（2）已知函數．函數是“型函數”，對應的實數對為，當時，．若對任意時，都存在，使得，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）利用定義，直接判斷求解即可．

（2）由題意得，g（1+x）g（1﹣x）＝4，所以當時,，其中, 所以只需使當時，恒成立即可，即在上恒成立，若，顯然不等式在上成立，若，分離參數m，分別求得不等式右邊的函數的最值，取交集即可得到m的范圍.

（1）由題意，若是“(a,b)型函數”，則,即,

代入得 ，所求實數對為．

（2）由題意得：的值域是值域的子集，易知在的值域為，

只需使當時，恒成立即可，,即，

而當時,, 故由題意可得，要使當時,都有，

只需使當時，恒成立即可，

即在上恒成立，

若，顯然不等式在上成立，

若，則可將不等式轉化為，

因此只需上述不等式組在上恒成立，顯然，當時，不等式（1）成立，

令 在上單調遞增，∴，

故要使不等式（2）恒成立，只需即可，綜上所述,所求的取值范圍是.