(Ⅰ)求證:函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù);
(Ⅱ)求證:當(dāng)x1>0,x2>0時(shí),有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2);
(Ⅲ)求證:ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2>
(n∈N*).
(Ⅰ)證明:∵g′(x)=,又xf′(x)>f(x)在x>0時(shí)恒成立,
∴g′(x)>0,∴g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù).
(Ⅱ)證明:當(dāng)x1>0,x2>0時(shí),有x1+x2>x1,x1+x2>x2,
由(Ⅰ)得g(x1+x2)>g(x1),g(x1+x2)>g(x2),
即:>
,
>
.
∴x1f(x1+x2)>(x1+x2)f(x1),
x2f(x1+x2)>(x1+x2)f(x2),
∴(x1+x2)f(x1+x2)>(x1+x2)(f(x1)+f(x2)),
∴f(x1+x2)>f(x1)+f(x2).
(Ⅲ)用數(shù)學(xué)歸納法證明
(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),左==
ln4,
右==
·
,由于ln4>1>
,
∴ln4>
·
.即原不等式成立.
(ⅱ)假設(shè)n=k時(shí),命題成立.即:
+
+
+…+
>
,
那么:+
+
+…+
>
2+
=
=·
≥
.
這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.
由(ⅰ)(ⅱ)可知,對一切n∈N*,都有
+
+
+…+
>
成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(1)求證:函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)求證:當(dāng)x1>0,x2>0時(shí),有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2);
(3)已知不等式ln(1+x)<x在x>-1且x≠0時(shí)恒成立,求證:ln22+
ln32+
ln42+…+
)2ln(n+1)2>
(n∈N*).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(Ⅰ)求證:函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù);
(Ⅱ)求證:當(dāng)x1>0,x2>0時(shí),有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2);
(Ⅲ)已知不等式ln(1+x)<x在x>-1且x≠0時(shí)恒成立,求證:ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2>
(n∈N*).
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(Ⅰ)求證:函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù);
(Ⅱ)求證:當(dāng)x1>0,x2>0時(shí),有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2);
(Ⅲ)已知不等式ln(1+x)<x在x>-1且x≠0時(shí)恒成立,求證:ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2>
(n∈N*).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(1)求證:函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)求證:當(dāng)x1>0,x2>0時(shí),f(x1+x2)>f(x1)+f(x2).
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