Question

（2009•朝陽(yáng)區(qū)二模）已知A，B，C，D是平面內(nèi)不共線的四點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù)λ₁，λ₂，使得

DA

+λ 1

DB

+λ2

DC

=0，則∠ADB，∠BDC，∠ADC（　　）

A．都是銳角

B．至多有兩個(gè)鈍角

C．恰有兩個(gè)鈍角

D．至少有兩個(gè)鈍角

Answer 1

分析：由條件可得 -

DA

=λ1

DB

+λ2

DC

，兩邊同時(shí)乘以

DA

可得，-

DA

2=λ1

DB

•

DA

+λ2

DC

•

DA

＜0，故∠ADB，∠ADC中至少有一個(gè)鈍角．同理可得∠ADB和∠BDC中至少有一個(gè)鈍角，∠BDC和∠ADC中至少有一個(gè)鈍角．從而得到∠ADB，∠BDC，∠ADC中至少有兩個(gè)鈍角．

解答：解：∵

DA

+ λ1

DB

+λ2

DC

=0，∴-

DA

=λ1

DB

+λ2

DC

，兩邊同時(shí)乘以 

DA

可得
-

DA

2=λ1

DB

•

DA

+λ2

DC

•

DA

＜0，又 正實(shí)數(shù)λ₁，λ₂ ，∴∠ADB，∠ADC中至少有一個(gè)鈍角．
同理可得∠ADB，∠BDC中至少有一個(gè)鈍角，∠BDC，∠ADC中至少有一個(gè)鈍角．
綜上可得，∠ADB，∠BDC，∠ADC中至少有兩個(gè)鈍角．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題，主要考查數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，以及數(shù)量積的定義式，同時(shí)考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力．