Question

19． (本小題滿分12分)
如圖，直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的高為3，底面是邊長為4且∠DAB = 60°的菱形，ACBD = O，A₁C₁B₁D₁ = O₁，E是O₁A的中點．
(1) 求二面角O₁－BC－D的大小；
(2) 求點E到平面O₁BC的距離．
 

 

Answer 1

60°，

解法一：
(1) 過O作OF⊥BC于F，連接O₁F，
∵OO₁⊥面AC，∴BC⊥O₁F，
∴∠O₁FO是二面角O₁－BC－D的平面角，········ 3分
∵OB = 2，∠OBF = 60°，∴OF =．
在Rt△O₁OF中，tan∠O₁FO =
∴∠O₁FO="60°" 即二面角O₁—BC—D的大小為60°············· 6分
(2) 在△O₁AC中，OE是△O₁AC的中位線，∴OE∥O₁C
∴OE∥O₁BC，∵BC⊥面O₁OF，∴面O₁BC⊥面O₁OF，交線O₁F．
過O作OH⊥O₁F于H，則OH是點O到面O₁BC的距離，··········· 10分
∴OH = ∴點E到面O₁BC的距離等于················ 12分
解法二：
(1) ∵OO₁⊥平面AC，
∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，又OA⊥OB，········· 2分
建立如圖所示的空間直角坐標系（如圖）
∵底面ABCD是邊長為4，∠DAB = 60°的菱形，
∴OA = 2，OB = 2，
則A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），O₁（0，0，3）··· 3分
設平面O₁BC的法向量為=（x，y，z），則⊥，⊥，
∴，則z = 2，則x=－，y = 3，
∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）········ 5分
∴ cos<，>=，
設O₁－BC－D的平面角為α， ∴cosα=∴α=60°．
故二面角O₁－BC－D為60°．······················ 6分
(2) 設點E到平面O₁BC的距離為d，
∵E是O₁A的中點，∴=（－，0，），············· 9分
則d=
∴點E到面O₁BC的距離等于．···················· 12分