Question

如圖所示，甲船由A島出發向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15

2

海里/小時，在甲船從A島出發的同時，乙船從A島正南40海里處的B島出發，朝北偏東θ（tanθ=

1

2

）的方向作勻速直線航行，速度為m海里/小時．
（1）若兩船能相遇，求m．
（2）當m=10

5

時，求兩船出發后多長時間距離最近，最近距離為多少海里？

Answer 1

分析：（1）設兩船在M處相遇，利用正弦定理，即可求出BM，然后求出相遇時的時間．
（2）以A為原點，BA所在直線為y軸，建立直角坐標系，設出在t時刻甲、乙兩船分別在P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）處，
求出P、Q坐標|PQ|=

(x2- x1)2+(y2- y1)2

利用配方法求出最小值．

解答：解：（1）因為tanθ=

1

2

，

sinθ cosθ = 1 2 sin2θ +cos2θ=1

，解得sinθ=

5

5

，cosθ=

2 5

5

；
甲船由A島出發向北偏東45°的方向作勻速直線航行，
設兩船在M處相遇，sin∠AMB=sin(45°-θ)=sin45°cosθ-cos45°sinθ=

10

10

，
由正弦定理

AM

sinθ

=

AB

sin∠AMB

，

AM

5 5

=

40

10 10

，
∴AM=40

2

，
從而有BM=40

5

，
又時間t=

AM

15 2

=

40 2

15 2

=

8

3

，
∴m=

BM

t

=

40 5

8 3

=15

5

．
（2）以A為原點，BA所在直線為y軸，建立直角坐標系，
設在t時刻甲、乙兩船分別在P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）處，
則由tanθ=

1

2

，cosθ=

2 5

5

，sinθ=

5

5

，

x1=15t y1=15t

，

x2=10 5 tsinθ=10t y2=10 5 tcosθ-40=20t-40

，
|PQ|=

(x2- x1)2+(y2- y1)2

=

(10t- 15t )2+(20t-40-15t)2

=

50t2-400t+1600

=

50(t-4)2+800

≥20

2

．
∴當且僅當t=4時|PQ|取得最小值20

2

．
即兩船出發后4小時時間距離最近，最近距離為20

2

海里．

點評：本題主要考查了解三角形問題的實際應用．考查余弦定理以及配方法的應用，考查了學生綜合分析問題和解決的能力．