Question

如圖所示，甲船由A島出發向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15海里/小時，在甲船從A島出發的同時，乙船從A島正南40海里處的B島出發，朝北偏東θ（tanθ=）的方向作勻速直線航行，速度為10海里/小時．
（1）求出發后3小時兩船相距多少海里？
（2）求兩船出發后多長時間距離最近？最近距離為多少海里？
（3）兩船在航行中能否相遇，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A為原點，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．設在t時刻甲、乙兩船分別在P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）處．則根據題意可分別表示出x₁和y₁，進而根據由tanθ=可求得cosθ和sinθ的值，進而表示出x₂和y₂，令t=3，則P，Q兩點坐標可得，進而根據兩點間的距離求得PQ的值，即出發后3小時兩船相距的距離．
（2）根據（1）可根據兩點間的距離求得QP，進而根據t的范圍求得PQ的最小值，進而可求得兩船出發4小時后距離最近，最近距離為20海里．
（3）根據（2）可知兩船之間的最近距離為20海里，推斷出兩船不可能相遇．
解答：解：以A為原點，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．
設在t時刻甲、乙兩船分別在P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）處．
則
由tanθ=可得，
cosθ=，sinθ=，
故
（1）令t=3，P、Q兩點的坐標分別為（45，45），（30，20），
|PQ|===5．
即出發后3小時兩船相距5海里．
（2）由（1）的解法過程易知：
|PQ|=
=
==≥20，
∴當且僅當t=4時，|PQ|取得最小值20．
即兩船出發4小時后距離最近，最近距離為20海里．
（3）由（2）可知，兩船之間的最近距離為20海里，所以兩船在航行中不會相遇
點評：本題主要考查了解三角形問題的實際應用．考查了學生綜合分析問題和解決的能力．