Question

已知矩陣A=

1 -1 a 1

，其中a∈R，若點P（1，1）在矩陣A的變換下得到點P′（0，-3）．
（1）求實數a的值；
（2）求矩陣A的特征值．

Answer 1

分析：（1）根據點P在矩陣A的變化下得到的點P′（0，-3），寫出題目的關系式，列出關于a的等式，解方程即可．
（2）寫出矩陣的特征多項式，令多項式等于0，得到矩陣的特征值，對于兩個特征值分別解二元一次方程，得到矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量和矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量．

解答：解：（1）由：（1）由

1 -1 a 1

 

1 1

=

0 -3

，
得a+1=-3，則a=-4（3分）
（2）由（1）知 A=

1 -1 -4 1

，
所以，由F（λ）=

.

λ-1 1 4 λ-1

.

得：λ₁=-1，λ₂=3（7分）
λ₁=-1時，由-2x+y=0得：y=-2x取

α1

=

1 2

λ₂=3時，由2x+y=0得：y=-2x，取

α2

=

1 -2

．（9分）
所以，A的特征值為-1或3．
屬于-1的一個特征向量

α1

=

1 2

，
屬于3的一個特征向量

α2

=

1 -2

（10分）

點評：本題考查二階矩陣，考查二階矩陣的特征值的求法，考查二階矩陣的特征向量的求法，因為是高等數學的內容，考查的比較簡單，是一個中檔題．