Question

設A={（x，y）|y≤-|x-3|}，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，b為常數，A∩B≠?．
（1）b的取值范圍是

 

；
（2）設P（x，y）∈A∩B，點T的坐標為(1， 

3

)，若

OP

在

OT

方向上投影的最小值為-5

3

，則b的值為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據A={（x，y）|y≤-|x-3|}，利用函數圖象的平移變換，由f（x）=|x|圖象得到f（x）=|x-3|的圖象，再利用函數圖象的對稱變換得到f（x）=-|x-3|的圖象，因此可以求出集合A表示的平面區域，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，表示x軸上方的陰影區域沿y軸上下平移，根據A∩B≠?可求得b的取值范圍；（2）根據P（x，y）∈A∩B，得到x，y應滿足的條件

y≤-|x-3 y≥2|x|+b b≤-3

，根據向量數量積的幾何意義即可表示出

OP

在

OT

方向上投影，再利用線性規劃的知識求解即可．

解答：解：（1）先畫出函數f（x）=|x|圖象，再把該圖象向右平移3個單位長度，得到f（x）=|x-3|的圖象，
然后再作關于x軸的對稱圖象得到f（x）=-|x-3|的圖象，
∴A={（x，y）|y≤-|x-3|}，
表示x軸下方陰影區域，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，
表示x軸上方的陰影區域沿y軸上下平移，
∵A∩B≠?．
∴b≤-3；（2）∵設P（x，y）∈A∩B，
∴

y≤-|x-3 y≥2|x|+b b≤-3

，
而

OP

•

OT

=x+

3

y，

OP

在

OT

方向上投影為

OP • OT

| OT |

=

x+ 3 y，

2

，
根據線性規劃可求當x=0，y=b時，

OP • OT

| OT |

=

x+ 3 y，

2

取最小值-5

3

，
代入解得b=-10．
故答案為：b≤-3；-10．

點評：此題是個中檔題．考查圖象的平移變化、對稱變換，以及向量的數量積的幾何意義，線性規劃求最值等基礎知識，體現了數形結合和運動變化的思想，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．