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設M是由滿足下列條件的函數f(x)構成的集合：“①方程f(x)－x＝0有實數根；②函數f(x)的導數(x)滿足0＜(x)＜1．”

(Ⅰ)判斷函數f(x)＝＋是否是集合M中的元素，并說明理由；

(Ⅱ)集合M中的元素f(x)具有下面的性質：若f(x)的定義域為D，則對于任意

[m，n]D，都存在x₀∈[m，n]，使得等式f(n)－f(m)＝(n－m)(x₀)成立．試用這一性質證明：方程f(x)－x＝0只有一個實數根；

(Ⅲ)對于M中的函數f(x)，設x₁是方程f(x)－x＝0的實數根，求證：對于f(x)定義域中任意的x₂，x₃，當|x₂－x₁|＜1，且|x₃－x1|＜1時，|f(x₃)－f(x₂)|＜2．

答案：

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科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判斷函數f(x)=

sinx

是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]⊆D，都存在x₀∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x₀）成立”，試用這一性質證明：方程f（x）-x=0只有一個實數根；
（Ⅲ）設x₁是方程f（x）-x=0的實數根，求證：對于f（x）定義域中任意的x₂、x₃，當|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f^′（x）滿足
0＜f^′（x）＜1”
（I）證明：函數f（x）=

（0≤x＜

）是集合M中的元素；
（II）證明：函數f（x）=

（0≤x＜

）具有下面的性質：對于任意[m，n]⊆[0，

），都存在x_o∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f^′（x_o）成立．
（III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]⊆D，都存在x_o∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f^′（x_o）成立．試用這一性質證明：對集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一個實數根．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．”
（Ⅰ）判斷函數f(x)=

sinx

是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x，判斷g（x）的單調性（f（x）∈M）；
（Ⅲ）設x₁＜x₂，證明：0＜f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：（1）方程f（x）-x=0有實數解；（2）函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．給出如下函數：
①f(x)=

sinx

；
②f（x）=x+tanx，x∈(-

，

)；
③f（x）=log₃x+1，x∈[1，+∞）．
其中是集合M中的元素的有

①③

．（只需填寫函數的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江西模擬）設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：①方程f（x）-x=0有實根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．
（1）若函數f（x）為集合M中的任意一個元素，證明：方程f（x）-x=0只有一個實根；
（2）判斷函數g（x）=

lnx

+3(x＞1)是否是集合M中的元素，并說明理由；
（3）設函數f（x）為集合M中的任意一個元素，對于定義域中任意α，β，證明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

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