Question

如圖，已知四邊形ABCD與CDEF均為正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．
（Ⅰ）求證：ED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-BE-C的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為平面ABCD⊥平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD，
又因為四邊形CDEF為正方形，
所以ED⊥CD．
因為ED?平面CDEF，
所以ED⊥平面ABCD．…（4分）
（Ⅱ）以D為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系D-xyz．

則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，1）．
所以平面BDE的法向量為

AC

=(-1，1，0)．…（5分）
設平面BEC的法向量為

n

=（x，y，z）．
因為

CB

=(1，0，0)，

CE

=(0，-1，1)，
所以

x=0 -y+z=0

即

x=0 y=z.

令z=1，則

n

=（0，1，1）．…6分
所以cos＜

AC

，

n

＞=

AC • n

| AC || n |

=

1

2

．
所以二面角D-BE-C的大小為60°．…（8分）