Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E是正方形BCC₁B₁的中心，點F、G分別是棱C₁D₁，AA₁的中點。設點E₁，G₁分別是點E，G在平面DCC₁D₁內的正投影，
（1）求以E為頂點，以四邊形FGAE在平面DCC₁D₁內的正投影為底面邊界的棱錐的體積；
（2）證明：直線FG₁⊥平面FEE₁；
（3）求異面直線E₁G₁與EA所成角的正弦值。

Answer 1

解：（1）依題作點E、G在平面內的正投影，
則分別為的中點，
連接，
則所求為四棱錐的體積，
其底面面積為，
又，
∴。

（2）以D為坐標原點，所在直線分別作x軸，y軸，z軸，
得，
又，
則，
∴，
即，

∴。
（3），
則，
設異面直線E₁G₁與EA所成角為θ，
則。