Question

設f（x）=[x²-（t+3）x+2t+3]•e^x，t∈R
（1）若f（x）在R上無極值，求t值；
（2）求f（x）在[1，2]上的最小值g（t）表達式；
（3）若對任意的t∈[1，+∞），任意的x∈[1，2]，均有m≤f（x）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用函數f（x）在R上無極值，可得方程（x-1）（x-t）=0有等根，從而可求t的值；
（2）分類討論，確定函數的單調性，即可求f（x）在[1，2]上的最小值g（t）表達式；
（3）問題等價于：對任意的t∈[1，+∞），m≤g（t），即m≤g（t）_min，t∈[1，+∞），分類討論，求最值，即可求得結論．

解答：解：求導函數，可得f′（x）=（x-1）（x-t）•e^x．
（1）函數f（x）在R上無極值，則方程（x-1）（x-t）=0有等根，即t=1；
（2）當t≤1時，x∈（1，2），f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（1）=（t+1）e．
當1＜t＜2時，x∈（1，t），f′（x）＜0，f（x）在[1，t）上單調遞減；
x∈（t，2），f′（x）＞0，f（x）在（t，2]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（t）=（3-t）•e^t
當t＞2時，x∈（1，2），f′（x）＜0，f（x）在[1，2]上單調遞減，
∴f（x）_min=f（2）=e²
綜上，g（t）=

(t+1)e，t≤1 (3-t)•et，1＜t＜2 e2，t≥2

；
（3）問題等價于：對任意的t∈[1，+∞），m≤g（t），即m≤g（t）_min，t∈[1，+∞）．
當t=1時，g（t）=2e；                                             
當1＜t＜2時，g′（t）=（2-t）•e^t＞0，故g（t）在（1，2）上單增，且g（t）的圖象連續不斷，有2e=g（1）＜g（t）＜g（2）=e²；                                     
當t≥2時，g（t）=e²
綜上，m≤2e．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．