Question

（本小題滿分14分）

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.如圖，ABCD是梯形，AB//CD，，PA⊥面ABCD，         

且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E為PD的中點
（Ⅰ）求證：AE//面PBC.
（Ⅱ）求直線AC與PB所成角的余弦值；

（Ⅲ）在面PAB內能否找一點N，使NE⊥面PAC. 若存在，找出并證明；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）取PC中點為F，連結EF，BF                         

又E為PD的中點，所以且
所以EF//AB，且EF=AB，所以ABFE為平行四邊形                   …2分
所以AE//BF， 因為AE面PBC，所以AE//面PBC                 …4分
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則    A、B、C、D、P、E的坐標分別為A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），
（0，0，3），E（0，，）…5分
從而=（2，1，0），=（1，0，）
設與的夾角為，則
， …7分
∴AC與PB所成角的余弦值為               …8分
（Ⅲ）法1：由于N點在面PAB內，故可設N點坐標為（x，0，z），
則  由NE⊥面PAC可得：    …10分
即
化簡得  即N點的坐標為（，0，）  
所以在面PAB內存在點N（，0，），使NE⊥面PAC.      …14分
（Ⅲ）法2：在面ABCD內過D作AC的垂線交AB于G，連PG，
設N為PG的中點，連NE，則NE//DG，                         …10分
∵DG⊥AC，DG⊥PA，∴DG⊥面PAC 從而NE⊥面PAC          …14分

解析