Question

選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為

x=-2-3t y=2-4t

(t為參數)它與曲線C：（y-2）²-x²=1交于A、B兩點．
（1）求|AB|的長；
（2）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點P的極坐標為(2

2

，

3π

4

)，求點P到線段AB中點M的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把直線的參數方程對應的坐標代入曲線方程并化簡得 7t²-12t-5=0，求出t₁+t₂和t₁•t₂，根據|AB|
=

(-3)2+(-4) 2

•|t₁-t₂|=5

(t1+ t 2)2-4 t1•t 2

，運算求得結果．
（Ⅱ）根據中點坐標的性質可得AB中點M對應的參數為

t1+ t 2

2

=

6

7

． 由t的幾何意義可得點P到M的距離為|PM|=

(-3)2+(-4) 2

•|

6

7

|，運算求得結果．

解答：解：（Ⅰ）把直線的參數方程對應的坐標代入曲線方程并化簡得 7t²-12t-5=0，
設A，B對應的參數分別為 t₁ 和t₂，則  t₁+t₂=

12

7

，t₁•t₂ =-

5

7

．     …（3分）
所以|AB|=

(-3)2+(-4) 2

•|t₁-t₂|=5

(t1+ t 2)2-4 t1•t 2

=

10 71

7

． …（5分） 
（Ⅱ）易得點P在平面直角坐標系下的坐標為（-2，2），
根據中點坐標的性質可得AB中點M對應的參數為

t1+ t 2

2

=

6

7

．   …（8分）
所以由t的幾何意義可得點P到M的距離為|PM|=

(-3)2+(-4) 2

•|

6

7

|=

30

7

．  …（10分）

點評：本題主要考查直線的參數方程、點到直線的距離公式，用極坐標刻畫點的位置，屬于基礎題．