Question

傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數.他們研究過如圖所示的三角形數:

將三角形數1,3,6,10,…記為數列{a_n},將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{b_n},可以推測:
(1)b₂₀₁₂是數列{a_n}中的第　　　　項;
(2)b_2k-1=　　　　.(用k表示)

Answer 1

(1)5030　(2)

由以上規律可知三角形數1,3,6,10,…的一個通項公式為a_n=,寫出其若干項有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的為10,15,45,55,105,120,…
故b₁=a₄,b₂=a₅,b₃=a₉,b₄=a₁₀,b₅=a₁₄,b₆=a₁₅,….
從而由上述規律可猜想:b_2k=a_5k= (k為正整數),
b_2k-1=a_5k-1==,
故b₂₀₁₂=b_2×1006=a_5×1006=a₅₀₃₀,
即b₂₀₁₂是數列{a_n}中的第5030項.