Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=x³+1；
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）（x∈[t，t+1]）的最小值g（t）．

Answer 1

分析：（1）根據偶函數的定義，可得f（x）=f（-x），結合x≥0時的函數解析式，可求出x＜0時，函數的解析式，進而可得y=f（x）的解析式；
（2）根據（1）中函數的解析式，結合冪函數的單調性，分別討論t+1≤0，即t≤-1時；t＜0＜t+1，即-1＜t＜0時和t≥0時函數的F（x）的最小值，最后綜合討論結果可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函數，
∴f（x）=f（-x）
x≥0時，f（x）=x³+1
∴x＜0時，f（x）=f（-x）=（-x）³+1=-x³+1
故f（x）=

x3+1，x≥0 -x3+1，x＜0

…（5分）
（2）由（1）中函數f（x）的解析式楞各
當t+1≤0，即t≤-1時
f（x）=-x³+1在區間[t，t+1]上為減函數
∴F（x）_min=f（t+1）=-（t+1）³+1…（7分）
當t＜0＜t+1，即-1＜t＜0時
f（x）=-x³+1在區間[t，0]上為減函數，區間[0，t+1]上為減函數
F（x）_min=f（0）=1…（9分）
當t≥0時，f（t）=t³+1在區間[t，t+1]上為增函數
F（x）_min=f（t）=t³+1        …（11分）
故：F（x）_min=g（t）=

-(t+1)3+1，t≤1 1，-1＜t＜0 t3+1，t≥0

…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性和函數的單調性，其中根據函數的奇偶性，求出函數的解析式是解答的關鍵．