Question

三棱錐P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

（１）證明：平面PAB⊥平面PBC；

（２）若PA=，PC與側面APB所成角的余弦值為，PB與底面ABC成60°角，求二面角B―PC―A的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明詳見解析；（2）60°

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先利用線面垂直的判定定理證明BC⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理證明平面PAB⊥平面PBC；（2）過A作則ÐEFA為所求.然后求出AB=,PB=2,PC=3及AE,AF，在RtAEF中求解即可.

試題解析： (1)證明：∵PA^面ABC,\PA^BC,    ∵AB^BC,且PA∩AB=A,\BC^面PAB

而BCÌ面PBC中,\面PAB^面PBC. ……5分

 (2)過A作

則ÐEFA為B−PC−A的二面角的平面角      8分

由PA=,在RtDPBC中,cosÐCPB=.

RtDPAB中,ÐPBA=60°.  \AB=,PB=2,PC=3   \AE=  =

同理：AF=          10分

∴sin==,         11分

∴=60°.           12分

另解：向量法：由題可知：AB=,BC=1,建立如圖所示的空間直角坐標系        7分

B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,,0),P(0,,),假設平面BPC的法向量為=(x₁,y₁,z₁),

∴

取z₁=，可得平面BPC法向量為=(0,−3,)      9分

同理PCA的法向量為=(2,−,0)              11分

∴cos<,>==,所求的角為60°          12分

考點：1. 平面與平面垂直的判定；2.直線與平面所成的角和二面角．