Question

已知為公差不為零的等差數列，首項，的部分項、、 、恰為等比數列，且，，.

（1）求數列的通項公式（用表示）；

（2）設數列的前項和為, 求證：（是正整數

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）見解析

【解析】

試題分析：

（1）由題得a1,a5,a17是成等比數列的，所以，則可以利用公差d和首項a來表示，進而得到d的值，得到an的通項公式.

（2）利用第一問可以求的等比數列、、 、中的前三項，得到該等比數列的通項公式，進而得到的通項公式，再利用分組求和法可得到Sn的表達式，可以發現為不可求和數列，所以需要把放縮成為可求和數列，考慮利用的二項式定理放縮證明，即，故求和即可證明原不等式.

試題解析：

（1）設數列的公差為，

由已知得，，成等比數列，

∴ ，且 2分

得或

∵ 已知為公差不為零

∴， 3分

∴. 4分

（2）由（1）知 ∴ 5分

而等比數列的公比.

∴ 6分

因此，

∵

∴ 7分

∴ 9分

∵當時，

∴（或用數學歸納法證明此不等式）

∴ 11分

∴當時，，不等式成立；

當時，

綜上得不等式成立. 14分

法二∵當時，

∴（或用數學歸納法證明此不等式）

∴ 11分

∴當時，，不等式成立；

當時，，不等式成立；

當時，

綜上得不等式成立. 14分

(法三)　利用二項式定理或數學歸納法可得：

所以，時，，

時，　綜上得不等式成立.

考點：放縮法 等差數列 等比數學 二項式定理 不等式