Question

圖形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中點．AC，BD交于O點．

（1）二面角Q－BD－C的大�。�

（2求二面角B－QD－C的大�。�

 

Answer 1

【答案】

Ⅰ）二面角Q－BD－C等于90°．（Ⅱ）二面角B－QD－C等于60°．.

【解析】

試題分析：（1）因為PA⊥面ABCD，連QO，則QO∥PA,所以QO⊥面ABCD,從而可證得面QBD⊥面ABCD,所求二面角為直二面角.

（2）解本小題的關鍵是作出二面角的平面角.過O作OH⊥QD，垂足為H，連CH，

CO⊥面QBD，CH在面QBD內的射影是OH，則∠OHC是二面角的平面角．然后解三角形即可.

Ⅰ）

解：連QO，則QO∥PA且QO＝PA＝AB

∵ PA⊥面ABCD

∴ QO⊥面ABCD

面QBD過QO，

∴ 面QBD⊥面ABCD

故二面角Q－BD－C等于90°．

（Ⅱ）解：過O作OH⊥QD，垂足為H，連CH．

∵ 面QBD⊥面BCD，

又∵ CO⊥BD

CO⊥面QBD

CH在面QBD內的射影是OH

∵ OH⊥QD

∴ CH⊥QD

于是∠OHC是二面角的平面角．

設正方形ABCD邊長2，

則OQ＝1，OD＝，QD＝．

∵ OH·QD＝OQ·OD

∴ OH＝．

又OC＝

在Rt△COH中：tan∠OHC＝＝·＝

∴ ∠OHC＝60°

故二面角B－QD－C等于60°．.

考點：線線平行，線面垂直，面面垂直的判定與性質，二面角，三垂線定理.

點評：掌握線線，線面，面面垂直的判定與性質是解決好本題的前提，解第二問的關鍵是作出二面角的平面角，一般要考慮利用三垂線定理來做或（找）角，通過本題要認真體會這種方法.