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在四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
1)求證AB⊥面VAD;
2)求面VAD與面VDB所成的二面角的大小.

【答案】分析:(1)欲證AB⊥面VAD,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AB與面VAD內(nèi)兩相交直線垂直,而VE⊥AB可由面VAD⊥底面ABCD得到,AB⊥AD,滿足定理?xiàng)l件;
(2)設(shè)VD的中點(diǎn)為F,連AF,AF⊥VD,由三垂線定理知BF⊥VD,根據(jù)二面角平面角的定義可知∠AFB是面VAD與面VDB所成的二面角的平面角,在Rt△ABF中求出此角即可.
解答:證明:(1)由于面VAD是正三角形,設(shè)AD的中點(diǎn)為E,
則VE⊥AD,而面VAD⊥底面ABCD,則VE⊥AB.
又面ABCD是正方形,則AB⊥AD,故AB⊥面VAD.
(2)由AB⊥面VAD,則點(diǎn)B在平面VAD內(nèi)的射影是A,設(shè)VD的中點(diǎn)為F,連AF,BF由△VAD是正△,則AF⊥VD,由三垂線定理知BF⊥VD,故∠AFB是面VAD與面VDB所成的二面角的平面角.
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,
則在Rt△ABF中,AB=a,AF=a,tan∠AFB=
故面VAD與面VDB所成的二面角的大小為
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與平面垂直的判定,以及二面角及其度量,對(duì)于二面角的度量在高考中有所弱化,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐V-ABCD中底面ABCD是正方形,側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD
(1)證明:AB⊥平面VAD;         
(2)求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是矩形,側(cè)棱VA⊥底面ABCD,E、F、G分別為VA、VB、BC的中點(diǎn).
(I)求證:平面EFG∥平面VCD;
(II)當(dāng)二面角V-BC-A、V-DC-A分別為45°、30°時(shí),求直線VB與平面EFG所成的角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖:在四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為
5
的等腰三角形.
(1)求二面角V-AB-C的平面角的大小;
(2)求四棱錐V-ABCD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)如果P為線段VC的中點(diǎn),求證:VA∥平面PBD;
(Ⅱ)如果正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,求三棱錐A-VBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•唐山三模)如圖,在四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2
3
的菱形,∠BAD=60°,側(cè)面VAD⊥底面ABCD,VA=VD,E為AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面VBE⊥平面VBC;
(Ⅱ)當(dāng)直線VB與平面ABCD所成的角為30°時(shí),求面VBE與面VCD所成銳二面角的大小.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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