Question

有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的兩側，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為3a元和5a元，問供水站C建在何處才能使水管費用最省？

Answer 1

分析：根據題設建立數學模型，借助圖象尋找個條件間的聯系，適當設定變元，構造相應的函數關系，通過求導，求出最值，可確定C點的位置．

解答：解：據題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，
設C點距D點xkm，如圖所示，則BD=40，AC=50-x，
∴BC=

BC2+CD2

=

x2+402

又設總的水管費用為y元，
由題意得y=3a（50-x）+5a

x2+402

（0＜x＜50），
y′=-3a+

5ax

x2+402

令y′=0解得x=30．
在（0，50）上，y只有一個極值點，
根據實際意義，函數在x=30（km）處取得最小值，
此時AC=50-x=20（km），
答：供水站C建立在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最省．

點評：解決實際問題的關鍵在于建立數學模型和目標函數，把“問題情境”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系抽象成數學問題，在數學領域尋找適當的方法解決，再返回到實際問題中加以說明．