Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，點，，分別為棱，，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成的角為？如果存在，求出線段的長；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）點存在，即的中點，．

【解析】

（1）以為原點，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，求出和平面的法向量為，得，進而證出結論；

（2）求出平面的法向量為，平面法向量，得，進而得出結論；

（3）設，利用直線與平面所成的角為，結合向量夾角公式列出關于的方程解出即可.

（1）在直三棱柱中，平面，又因為，

以為原點，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系．

由題意得，，，，，．

所以，，設平面的法向量為，則

，即，令，得，，于是．

又因為，所以．又因為平面，

所以平面．

（2）設平面的法向量為，，，

，即，令，得，，于是，

平面法向量，．

所以二面角的大小為．

（3）．設直線與平面所成角為，則，設，則，，

所以，解得或（舍），

所以點存在，即的中點，．