Question

【題目】已知圓經過橢圓： 的兩個焦點和兩個頂點，點， ， 是橢圓上的兩點，它們在軸兩側，且的平分線在軸上， .

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）證明：直線過定點.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直線過定點.

【解析】【試題分析】(I)根據圓的半徑和已知 ,故,由此求得橢圓方程.(II)設出直線的方程,聯立直線方程與橢圓方程,寫出韋達定理,寫出的斜率并相加,由此求得直線過定點.

【試題解析】

（Ⅰ）圓與軸交點即為橢圓的焦點，圓與軸交點即為橢圓的上下兩頂點，所以， .從而，

因此橢圓的方程為： .

（Ⅱ）設直線的方程為.

由，消去得.

設， ，則， .

直線的斜率 ；

直線的斜率 .

.

由的平分線在軸上，得.又因為，所以，

所以.

因此，直線過定點.

[點睛]本小題主要考查橢圓方程的求解,考查圓與橢圓的位置關系,考查直線與圓錐曲線位置關系. 涉及直線與橢圓的基本題型有：（1）位置關系的判斷.（2）弦長、弦中點問題.（3）軌跡問題.（4）定值、最值及參數范圍問題.（5）存在性問題.常用思想方法和技巧有：（1）設而不求.（2）坐標法.（3）根與系數關系.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知函數（，且）.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）求函數在上的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調增區間為，單調減區間為.（Ⅱ）當時， ；當時， .

【解析】【試題分析】(I)利用的二階導數來研究求得函數的單調區間.(II) 由（Ⅰ）得在上單調遞減，在上單調遞增，由此可知.利用導數和對分類討論求得函數在不同取值時的最大值.

【試題解析】

（Ⅰ），

設 ，則.

∵， ，∴在上單調遞增，

從而得在上單調遞增，又∵，

∴當時， ，當時， ，

因此， 的單調增區間為，單調減區間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上單調遞減，在上單調遞增，

由此可知.

∵， ，

∴.

設，

則 .

∵當時， ，∴在上單調遞增.

又∵，∴當時， ；當時， .

①當時， ，即，這時， ；

②當時， ，即，這時， .

綜上， 在上的最大值為：當時， ；

當時， .

[點睛]本小題主要考查函數的單調性,考查利用導數求最大值. 與函數零點有關的參數范圍問題，往往利用導數研究函數的單調區間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數的大致圖像，討論其圖象與軸的位置關系，進而確定參數的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數圖象的交點問題．